2024年2月ごろにSteamクライアントを更新してから、以下のログで停止して起動しなくなっていました。
$ flatpak run com.valvesoftware.Steam ... Steam Runtime Launch Service: starting steam-runtime-launcher-service Steam Runtime Launch Service: steam-runtime-launcher-service is running pid 34081 bus_name=com.steampowered.PressureVessel.LaunchAlongsideSteam
Steam is killed with no error message when steam runtime launch service is ranによると、落ちている原因はSteamにbackgroundパーミッションを与えていないからのようなので、以下のコマンドで追加すると起動できるようになります。
$ flatpak permission-set background background com.valvesoftware.Steam yes
ここでbackgroundが2つ並んでいるのは正しくて、最初がパーミッションストアのテーブル名、2つ目がパーミッションストアのオブジェクトの名前です。
以下のような結果になっていれば動作します。
$ flatpak permission-show com.valvesoftware.Steam Table Object App Permissions Data background background com.valvesoftware.Steam yes 0x00